이 책은 공학경제 3판을 기준으로 만들어졌습니다.
🎯 학습 목표
- 돈의 시간적 가치 이해
- 경제적 등가 개념의 이해
- 다양한 현금흐름에 대한 등가 계산 적용
💰 3.1 돈의 시간적 가치(Time Value of Money)
✔️ 왜 시간에 따라 돈의 가치는 달라질까?
- 수익력: 지금의 돈은 예치 시 이자를 통해 더 큰 금액으로 증가
- 구매력: 물가 상승으로 화폐 가치가 하락 → 미래의 돈은 현재보다 가치가 낮음
💡 어군 탐지기 사례
| 수입 | 800만 원 | 1600만 원 |
| 지출 | 400만 원 | 690만 원 |
| 순수익 | 400만 원 | 910만 원 |
→ 수익력 차이: 510만 원 → 1000만 원 투자에 대한 경제적 가치를 설명
🧮 3.2 이자 계산 방식
📌 단리(Simple Interest)
- 원리금 합계: P(1 + i·n)
- P는 원금, N은 이자계산의 기간 수(일, 월, 년 등으로 표시되는 원금사용기간)
- i는 기간당 이율
- 예: 2,000원을 연 10% 단리로 5년 → 3,000원
📌 복리(Compound Interest)
- 원리금 합계: P(1 + i)^n
- 같은 조건일 때: 2,000원 → 3,221원 (복리가 단리보다 유리)
| 5년 후 | 3,000원 | 3,221원 | +221원 |
=> 복리는 단리에 비해 시간이 길수록 기하급수적으로 증가하는 효과가 있다.
단리는 원금에 근거하여 계산하고, 복리는 현재잔고(current balance)에 근거하여 계산한다.
(이자 기간과 이율이 커지면 두 이자 사이의 합계액의 차이가 점점 커지는 것은 이 때문이다.)
💸 3.3 현금흐름도(Cash Flow Diagram)
- 수입: ↑, 지출: ↓로 표시
- 순현금흐름도: 동일 시점에 수입과 지출이 함께 발생할 경우 순액만 표시
예시
- 0년: 1,000원 대출
- 1~4년: 매년 이자 150원
- 5년: 이자 + 원금 상환 (1,150원)
* 연말표시원칙(year-end-convention) : 조금씩 다른 시간 간격으로 다양한 현금흐름이 발생하더라도 이자계산의 한 단위기간 동안 발생한 현금흐름들은 모두 기간 말에 발생한 것으로 간주(기간 말에 합산)
⚖️ 3.4 경제적 등가(Economic Equivalence)
- 돈은 시점에 따라 가치가 다름 → 같은 "경제적 가치"로 비교해야 함
- 경제적 등가계산: 서로 다른 시점의 금액을 동일한 기준으로 전환
- 동일한 기준이라고 하는 것은 서로 다른 현금흐름을 동일 시점 혹은 동일한 형태의 현금흐름을 말한다.
* 대표적인 현금흐름의 유형
(1) 일회지불 현금흐름
이자계산의 시작시점 혹은 이자계산 기간 말에 한 번의 지불만 발생하는 현금흐름
(2) 균일지불 현금흐름
이자계산기간 첫 번째 기간 말부터 n번째 기간 말까지 매 기간 말에 동일한 금액의 지불이 발생하는 현금흐름
(3) 등차지불 현금흐름
두 번째 기간 말에 최초로 G만큼의 현금흐름이 발생하여 이자계산기간 말까지 매 기간 말 일정 금액(G)씩 증가 혹은 감소하여 발생하는 일련의 현금흐름
(4) 등비지불 현금흐름
첫 번째 기간 말에 F1의 현금흐름이 있고 그 이후 이자계산기간 동안 일정비율로 현금흐름이 증가하거나 감소하는 현금흐름
이때 일정비율을 성장률(growth rate)라고 한다. 이 또한 g로 표시한다.
🔁 3.5 등가계수(Economic Equivalence Factors)
등가계수란?
=> 어떤 시점에서의 현금흐름을 동일한 경제적 가치를 갖는 다른 시점에서의 현금흐름으로 변환하기 위해 곱해주는 상수
* 시간적으로 다른 시점에서의 현금흐름을 경제적으로 등가인 다른 시점 혹은 형태로 현금흐름으로 환산
(이율을 제대로 반영해야 한다)
1️⃣ 일회지불 복리계수 (F/P, i, n)
이자계산기간 초의 일회지불 현금흐름을 경제적 등가인 이자계산기간 말의 현금흐름으로 환산하는데 사용되는 계수이다.
즉 현가(present worth) P가 주어졌을 때 이와 등가인 미래가(future worth) F로 환산해준다.
- 미래가치 계산: F = P(1 + i)^n
이때 이자계산기간 말의 F는 이자계산기간 초의 P와 경제적 등가라고 하고, (1+ n)^n을 일회지불 복리계수(single-payment compund-amount factor)라고 한다.
* 일회지불 복리계수 : "일회지불 현금흐름" 형태에서 등가인 "복리로 계산된 금액"을 구하는 데 사용되는 계수
그러면 어떻게 표현을 할까?
일회지불 복리계수는 F를 P로 나누어서 얻어지기 때문에 F/P로 표시
이 계수는 적용이율 i와 이자 계산의 길이 n의 함수이기 때문에 (F/P, i, n)으로 표시한다.
엑셀의 재무함수인 FV 함수를 이용하여 등가계수를 계산할 수 있다.
FV 함수는 현재가 P 혹은 매기간 균일 지불(혹은 수입)액 A와 이율 및 이자기간이 주어질 때 주어진 현금흐름과 등가인 미래가 F를 구할 때 사용된다.
FV(rate, nper, pmt, pv, type)
여기서, rate : 이율(i%)
nper : 이자계산기간(n)
pmt : 이자 기간 중 균일지불 현금흐름(A)
pv : 현가 P(입력 시 부호 주의 : 지출은 -, 수입은 +부호를 붙임)
type : 0(기간 말 지불), 1(기간 초 지불) : 생략하면 0으로 지정됨.
2️⃣ 일회지불 현가계수 (P/F, i, n)
이자계산기간 말의 일회지불 현금흐름을 등가인 이자계산기간 초의 일회지불 현금흐름으로 환산하는 계수
즉, 미래가 F가 주어졌을 때 이와 등가인 현재 시점의 가치 P를 구하는 데 사용되는 계수
=> 할인계산(discounting) : 현금흐름을 현재 시점의 등가로 계산하는 것
- 현재가치 계산: P = F / (1 + i)^n
- 일회지불 현가계수(single-payment present-worth factor) : 1 / (1 + i )^n
- 기호 : (P/F, i, n)
P = PV(rate, nper, pmt, fv, type)
여기서 rate : 이율
nper : 이자계산기간
npmt : 기간 중 균일지불 현금흐름
fv : 미래가(입력 시 부호 주의 : 지출은 -, 수입은 + 부호를 붙임)
type : 0(기간 말 지불), 1(기간 초 지불) : 생략하면 0으로 지정됨
(P/F, i, n) = PV(i, n, -1)
3️⃣ 균일지불 복리계수 (F/A, i, n)
균일지불 현금흐름과 등가인 이자계산기간 말의 일회지불 현금으로 환산하는 데 적용되는 계수
따라서 이들을 합한 금액이 5년째 말에 받게 될 원리금 합계액(F = F1 + F2 + .... + F5)이 된다.
F = A(F/P, i, n-1) + A(F/P, i, n-2) + ... + A(F/A, i, 1) + A(F/P, i, 0 )
= A [(1 + i)^n-1 + (1 + i)^n-2 + .... + (1 + i)^1 + (1 + i)^0]
F = A[ (1 + i)^n - 1 / i ]
균일지불 복리계수(equal-payment-series compound-amount factor) : [(1 + i)^n - 1 / i ]
기호 : (F/A, i, n) = FV(i, n , -1)
- 매년 일정액을 저축할 때의 미래가치
4️⃣ 적립기금계수 (A/F, i, n)
이자계산기간 말에 발생하는 일회지불 현금흐름을 기간1 말부터 기간 n말까지의 균일지불 현금흐름으로 환산하는 계수
즉, 이자계산 기간말 n시점에 F 금액을 적립하기 위하여 기간말 n 시점에 F금액을 적립하기 위해 기간1의 말부터 기간n 말까지 매년 균일하게 적립해야 할 금액을 구해보자.
균일지불 적립기금계수(equal-payment-series sinking-fund factor) : [ i / (1 + i )^n - 1]
기호 : (A/F, i, n)
A = PMT(rate, nper, pv, fv, type)
rate : 이율
nper : 이자계산기간
pv : 현가(P)
fv : 미래가(F)
type : 0 : 기말지불(default), 1 : 기간 초 지불 발생인 경우
- 목표금액을 위해 매년 얼마씩 저축해야 하는가?
5️⃣ 균일지불 현가계수 (P/A, i, n)
균일지불 현금흐름과 등가인 이자계산기간의 시작 시점에서의 일회지불 현금흐름으로 환산하는 계수
1년째 말부터 n년째 말까지 매년 말 A원의 연금을 받기 위해, 연리 i%복리를 가정할 경우,
현재 투자해야 할 금액 P를 구한다면, 다음과 같이 균일지불 복리계수(F/A, i, n)를 사용하여 먼저 등가인 F를 구한 다음
이를 다시 일회지불현가계수(P/F, i, n)를 사용하여 현가 P로 환산하면 된다.
균일지불 현가계수(equal-payment-series present-worth factor) : [(1 + i)^n - 1 / i(1 + i )^n]
기호 : (P/A, i, n) = PV(i, n, -1)
- 매년 일정액 수령을 위해 지금 얼마를 투자해야 하는가?
A = P[ i(1 + i)^n / (1 + i)^n - 1]
균일지불 자본회수계수(equal-payment series capital-recovery factor) : [ i(1 + i)^n / (1 + i)^n - 1]
기호 : (A/P, i, n) = PMT(i, n, -1)
6️⃣ 자본회수계수 (A/P, i, n)
이자계산기간 초에 발생하는 일회지불 현금흐름을 기간 n동안 균일지불 현금흐름으로 환산하는 계수
- 현재 투자금액에 대해 매년 얼마씩 회수해야 하는가?
* 추가적으로 더 살펴보면 등차지불계수와 등비지불계수가 있다.
등차지불계수(uniform-gradient-series factor) : 등차지불 현금흐름을 균일지불 현금흐름으로 환산하는 계수
=> 등차현금흐름 = 여러 개의 균일지불 현금흐름의 합
📊 다양한 현금흐름 형태
| 형태 | 설명 |
| 일회지불 | 단 한 번의 수입/지출 |
| 균일지불 | 매년 동일 금액 |
| 등차지불 | 매년 일정 금액씩 증가 또는 감소 |
| 등비지불 | 매년 일정 비율(g%)씩 증가 |
🧠 EXCEL 재무함수 정리
- FV(rate, nper, pmt, pv, type) → 미래가치
- PV(rate, nper, pmt, fv, type) → 현재가치
- PMT(rate, nper, pv, fv, type) → 매년 적립 또는 회수 금액
📚 응용 예제
예제1: 입사 조건 비교
- K사: 매년 2,000달러 증가
- M사: 연 54,000달러 고정
- 이자율 8% 기준 → K사 경제적 가치가 더 높음
🔁 3.6 복리 계산 주기와 실질이율
- 명목이율: 표면상 이율 (ex. 연 12%)
- 실질이율: 실제 적용되는 복리 이율
- 예) 연 12%를 분기별 계산 → 실질이율 ≈ 12.55%
🌐 연속복리와 이자계산 주기 불일치
- 이자계산 주기 ≠ 현금흐름 주기일 경우
- 방법 1: 실질이율로 환산하여 적용
- 방법 2: 현금흐름을 이자계산 주기에 맞춰 환산
📘 마무리 요약
- 시간에 따라 돈의 가치는 달라지며, 이를 고려한 의사결정이 중요
- 다양한 현금흐름을 동일한 시점으로 전환하는 등가계수 활용
- Excel 함수를 통해 복잡한 계산을 간편하게 구현 가능
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